等周問題 ここでは磨光法を用いて次の問題を解きましょう． 問題 周の長さが一定ｋのｎ角形の中で最大面積をもつものは正ｎ角形である ｎ＝３のときすなわち，三角形のときは垂足三角形その周辺の話題 で証明しています．そちらを見てください．ｎ＝４の場合も計算でやれば難しくありません．ここでは 一般的に扱います．一部乗り越えられない問題もあるのですが， 出来るだけ分かりやすく説明いたします． ＜証明 step 1＞ 最大面積をもつｎ角形は凸多角形である．言い方を変えれば凹多角形が最大面積を もつことはないを示しましょう． |
図で，へこんだ部分５角形ＡＩＨＧＦを直線ＡＦに関して折り返した図形は元の図形と周の長さは 変わらないが面積は増えています．したがって，もとの図形が最大の面積にはなりません． 新しい多角形は凸とは限りません．もし凸ｎ角形で面積の大きい図形を作りたければ，図で 凹９角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩに対して６角形ＡＢＣＤＥＦを考え，３ヶ所の頂点の周りからその点が頂点で ある小さな三角形で面積の和が５角形ＡＩＨＧＦより小さくかつ新しい９角形の周の長さがもとの９角形より長くないものを ものを切り取る（このような３つの三角形は十分小さく取れば可能でです）．このとき新しい９角形は 元の９角形より面積は大きくかつ周の長さは長くない．したがって，同じ周の長さになるよう相似拡大をすれば， 周の長さは同じで，面積の大きい多角形が作れます． ＜証明 step2＞ 不等辺２ｎ角形は同じ周の長さの等辺２ｎ角形より面積が小さい． ここで磨光法を用いるのですが，証明で次の性質を用います． 性質１ △ＰＡＢでＰＡとＰＢを入れ替えても（線分ＡＢの垂直２等分線にかんする対称移動）しても，合同ですから 周の長さも面積も変わらない． 性質２ △ＰＡＢと△ＱＡＢでＰＡ＋ＰＢ＝ＱＡ＋ＱＢのとき． │ＰＡ−ＰＢ│＞│ＱＡ−ＱＢ│ なら △ＰＡＢ＜△ＱＡＢ これはＰ，ＱはＡ，Ｂを焦点とする楕円上にありますから，Ｃに近いほうがｙ座標が大きいので， 面積が大きくなります．なお，この性質の図形的証明は垂足三角形その周辺の話題 にあります． |
証明に入りましょう．周の長さがｋの不等辺凸２ｎ多角形Ａ１Ａ２・・・Ａ２ｎについて， 必要なら性質１を用いてＡ１Ａ２＜ｋ／２ｎ＜Ａ２Ａ３と仮定してよい． 性質２より２辺Ａ１Ａ２，Ａ２Ａ３をｋ／２ｎ， Ａ１Ａ２＋Ａ２Ａ３−ｋ／２ｎと 変えれば，新しい ｎ角形は周の長さは変わらず面積は増えている．この操作を続けていけば， 周の長さは変わらず，ｋ／ｎ の長さの辺が少なくとも１つは増えていくの，多くともｎ−１回の操作ですべての辺がｋ／ｎになる．したがって， 性質２が証明できました． ＜証明 step3＞ 最大面積をもつ等辺２ｎ角形は，ある頂点とその頂点よりｎ番目の頂点すなわちＡｋと Ａｋ＋ｎ結ぶ対角線によって ２つの部分に分けると２つの多角形は周の長さも面積も一致する． 対角線を除く周の長さはともにｋ／ｎに一致し，面積はもし一致しなければ，大きいほうを対角線に 関して対称移動することにより，さらに大きい等辺２ｎ角形が作れ，最大面積に矛盾します． ＜証明 最後のstep＞ 端点Ａｋ，Ａｋ＋ｎが直線上にあり，ｎ−１個の点Ａｋ＋１， ・・・，Ａｋ＋ｎ−１が ＡｋＡｋ＋１＋Ａｋ＋１Ａｋ＋２＋ ・・・＋Ａｋ＋ｎ−１Ａｋ＋ｎ＝（一定） のもとで最大面積をもつなら，Ａｋ＋１，・・・，Ａｋ＋ｎ−１は ＡｋＡｋ＋ｎが直径である 半円周上にある. これが証明できれば一応証明が終了します． |
上の図で黄色の△ＡＢＣで∠Ａを変えてもＢＰ＋ＰＡ＋ＡＱ＋ＱＣの長さは 変わりません．したがって，ＢＰ＋ＰＡ＋ＡＱ＋ＱＣが一定の元で囲む面積が最大なら ∠ＢＡＰ＝９０°でなければなりません．すなわち線分ＢＣを直径とする半円上になければいけません． この考えを使います．周の長さ一定の元で，面積最大になるなら，各頂点Ａｋ＋ｉに関して ∠ＡｋＡｋ＋ｉＡｋ＋ｎ＝９０° となります．したがって各頂点はＡｋＡｋ＋ｎを直径とする半円周上にあることが示せました． この証明の問題点はあとで述べるとして，次の定理も同様の方法で証明しましょう． 定理 与えられた長さを持つ閉曲線のうち，面積最大の図形は円である． やはり３つの部分に分けて証明します． ＜step1＞ 最大面積をもつ図形は凸である． もし凸でない仮定すると，へこんでいる部分を折りかえせば，周の長さは変わらず， 面積は増えるからである． ＜step2＞ 最大面積の図形をＦとすると，Ｆの周を等しい長さの弧に分ける２点Ａ，Ｂを定めれば，直線 ＡＢは図形Ｆを同じ面積に分ける． もし面積が異なるとすると，大きい面積のほうを直線ＡＢに関して折り返せば，周の長さは変わらず 面積は増加し，Ｆが最大に面積に反する． したがって，定理は次の定理に帰着される． ＜step3＞ 長さが一定で，端点がＡ，Ｂが直線上にあり，曲線と直線ＡＢで囲まれる面積を 最大にする曲線は，線分ＡＢを直径とする半円である． |
図で∠ＡＰＢを変えても周の長さは変わりません．一方△ＡＰＢの面積は∠ＡＰＢ＝９０° のとき最大になります．したがって，周の長さを与えたとき面積を最大にする図形が弧ＡＰＢなら 弧ＡＰＢ上の任意の点Ｑに関して∠ＡＱＢ＝９０°になります．したがって，弧ＡＰＢは線分ＡＢ を直径とする半円となります． 以上で定理が証明が終了しました． なかなかすばらしい解答ですが，この証明の問題点を考えてみましょう． 問題点の説明のために，同一法と呼ばれる証明法から入ります．同一法とは次の証明法です． 命題 Ａ→Ｂ が真であり，Ａを満たす要素が存在し，Ｂがただ一つの要素からなるとき． 集合で考えればＡはＢの部分集合であるから，ＡとＢは同値であり当然 命題 Ｂ→Ａ がなりたつ． 例題を扱いましょう．同一法の他の例は図形の証明での間接証明の利用を参照ください． 例題１ △ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＰ，辺ＡＣ上に点Ｑがある． このとき （１）Ｑは辺ＡＣの中点 → ＰＱ‖ＢＣ （２）Ｑは辺ＡＣの中点 → ＰＱ＝ＢＣ／２ |
(1) 仮定を満たすＱは存在し，結論を満たすＱはただ一つ存在し，さらに命題が成り立つので逆も成り立ちます． (2) 仮定を満たすＱは存在するが結論を満たすＱは一つとは限らない．したがって逆が成り立つときも成り立たないときもある． 以上の例はあまり問題はありません．次の例はどうでしょう． 例２ 自然数全体よりなる集合をＮとする．このとき ｘは集合のＮの最大値 → ｘはｘ２≦ｘを満たす． ｘが最大値なら，それより大きい数はなく，ｘが自然数ならｘ２も自然数ですから，命題は正しいでしょう． さらに結論を満たすものはｘ＝１だけしかありません． したがって，ｘ＝１が自然数全体の集合Ｎの最大値と結論してよいでしょうか． そんな馬鹿なことはありません．どこに問題があるかというと仮定を満たす要素が存在しないからです． 例２で行ったことは決してばかげていることではありません．存在を示すことが重要なこ とであることを意味しています． さて 定理 与えられた長さを持つ閉曲線のうち，面積最大の図形は円である． の証明を振り返ってみましょう． ＜step1＞ 最大面積をもつ図形は凸である． ＜step2＞最大面積の図形をＡとすると，Ａの周を等しい長さの弧に分ける２点Ａ，Ｂを定めれば，直線 ＡＢは図形Ａを同じ面積に分ける． 以上のstep1,step2 問題ありません．問題は次のstep3です． ＜step3＞長さが一定で，端点がＡ，Ｂが直線上にあり，曲線と直線ＡＢで囲まれる面積を 最大にする曲線は，線分ＡＢを直径とする半円である． step3 を例題２にあわせて少し書き換えましょう． ＜step3'＞定数ｋが与えられている．端点Ａ，Ｂが１つの直線上にあり，弧ＡＢの長さがｋ／２である すべての凸図形よりなる集合を考える．このとき 図形Ｃが最大面積である → Ｃ上の任意の点Ｐで∠ＡＰＢ＝９０°を満たす・・・@ 命題 @は明らかに真です．結論を満たす図形も半円だけでただ一つです．したがって， 仮定を満たすＣが存在することの証明がどうしても必要です．要するに，最大面積 の図形が存在することの証明がきちんとやらないと，定理の証明が完了 したことにはならないことを伝えたかったのですが分かったでしょうか． なお，正ｎ角形が最大の面積であることに関しても まったく同じ問題が残っています．残念ながらこの存在に関しては，この内容を論ずる資格は 私にはありません，皆さんが大学入学後，先生に聞いてください． 最後に 定理 与えられた長さを持つ閉曲線のうち，面積最大の図形は円である． をディドの問題といわれます．その由来を書いておきましょう． ディドはカルタゴを建国したと伝えられている伝説上の女王です．元はフェニキアの都市国家の国王の 娘で，父国王の死後，遺言にしたがって，兄と共同で国を治める予定であったが，兄は王位の独占と財産目当てのため，ディドの命をも狙った そのため彼女はすべての捨て，航海に出，現在の北アフリカチェニジアにたどり着いた．そこで，彼女はこの地の王に 土地の分与を申し入れ，一途の牛の皮で囲えるだけの土地ならば与えてもよいとの返答を得た．そこで， 彼女は，海岸沿いに牛の皮を細かく引き裂いて，予想より大きい土地を 取り囲み，砦を築くだけの土地を得たといわれます．このディドの囲いかたがディドの問題といわれる所以です．なお，囲い方分かりますね． 海岸から半円を描いたわけです．ちなみにこの囲い方は内陸に円を描くより大きく（面積が２倍）なります． 目次 |